信奥赛NOI编程入门例题拓展精讲2
学号分组问题
前言
本文目的：
借用一些常见的入门练习题，复习和拓展《初等数论和算法入门》的知识
顺带，熟悉 NOI 的“阉割+嫁接版 C/C++”
同时，对比掌握真正的C/C++，兼容NOI
本文背景
2024年寒假，为帮助孩子和几位同学自学并更好掌握 Python，龙爸编写了《初等数论和算法入门》的辅导材料。让孩子们在自学的基础上，通过一些精讲的题目来掌握初等数论的知识。
——龙爸给孩子们找了很多书籍、视频、教材，但都不满意。专业的不适合孩子，适合孩子的又太业余。说真的，NOI/CSP行业，包括洛谷等很多教材、题目问题太多。甚至NOI的某些比赛题里的毛病，经常让人哭笑不得——草台班子。
——龙爸认为：教、学编程，应该融入《初等数论》的基础知识和算法思维，不该分割开。
2025年寒假，学校请的培训机构时不时在群里发了一些入门练习，
刚好我们可以用来熟悉 NOI 的“阉割+嫁接版 C/C++”，复习和拓展《初等数论和算法入门》的知识。
龙爸强调：我们学编程不是为了信奥赛，不是等级考试和CSP，而是：
锻炼“思维”，分析和解决问题的方法
提高学习效率——必须在高考前学会提高学习效率，越早越好。
龙爸家的规则：如果学习效率高，有兴趣可以参赛，否则学习为主。
不考虑特招、降分——舍本逐末、因果颠倒。
而且，参加奥数才是本事，信奥可以考虑顺手。
所以，既然意外进了信奥队、不得不分一部分精力 熟悉 C/C++，兼容NOI 的“阉割+嫁接版 C/C++”——要学就学正宗的C/C++，但要能读懂不正宗的代码，以及必要时兼容之。
（我们硬件编程基本不用C，Micro Python、.NET/C# 都很好，以后考虑Rust）
这个系列中，龙爸会坚持一贯的原则：
——设法多引导孩子从不同角度去思考，鼓励孩子实践
——自己提出问题，然后查阅资料，去设计实验来验证自己的疑问。
一些入门级的例题
接下来用跟着学校培训机构打卡遇到的一些入门题作为例题，进行拓展：
（机构按进度教学很正常，没有贬低的意思，只是刚好遇到了就不浪费）
2.学号分组问题
🧠
全班49名学生，学号为1~49，按以下规则分成3组。学号尾号为1、4、7的为第1组、尾号为2、5、8的为第2组，其余学生为第3组。输入学号，输出是第几组。
老师：这道题不仅要用到if条件分支，还要用到取数位的知识点。
先看看同学的标准答案：
🧠
龙爸补充说明：
这道题的重点：初等数论中，关于数位的数学含义，以及如何取某一位上的数字的数学方法。
比如一个十进制的数字 123，取个位数：用 123 对 10 求模，余数就是个位数。
123 % 10 = 3
所以，需要进一步引导：
🧠
龙爸的拓展要求：
仔细思考，这个答案是否避免 if-else 多分支条件判断，比如简化后仅用一个三目运算符；
进一步，考虑如何用一个表达式代替三目运算符？
再进一步，如何用纯数学表达式解决问题，避免使用条件表达式？
下面是引导孩子最终得到的答案：
第12-14行代码是三种不同的实现方式，简单分析：
🧠
首先，题目的提示有错误：
老师：这道题不仅要用到if条件分支，还要用到取数位的知识点。
既然学了求模，就应该引入初等数论中关于余数的基本概念。
取出个位数后，怎么分组——这里不需要条件判断，而是对3求模。
简单分析一下，0-9十个数字对3求模的情况：
个位数字为 1、4、7，对3求模，余数为1，分到第一组；
个位数字为2、5、8，对3求模，余数为2，分到第二组；
个位数字为3、6、9、0，对3求模，余数为0，分到第三组
也就是说，只有余数为0的情况，需要条件判断归为第三组。
接下来，可以用简单的 if-else，或者三目运算符搞定。
——见代码第12行。
完成第一个拓展要求。继续：
🧠
如何用一个表达式代替三目运算符？
基于上面的分析，问题主要出在第三种情况的结果为0而不是期待的3。
如何把结果0，转化为3？
可以利用 bool 值的“隐式转换”——虽然不推荐。
逻辑表达式 ( lastDigit % 3 == 0 ) 的值为 false 或 true，对应着 0 和 1；
所以，如果符合上面分析的第三种情况，其值为 1，乘以 3 达到目的；
否则为0，乘以3运算结果为0，不影响结果。
——这是一种典型的局部修正技巧，摆脱了三目运算符。
——见代码第13行。
完成第二个拓展要求。继续，上难度：
🧠
如何用纯数学表达式解决问题，避免使用条件表达式？
前面分析的三种情况里，第三种情况结果为0，希望变为3，不得不用到条件表达式。
避免条件表达式，重点在如何将余数为0的情况变为3而不需要用条件判断。
这里用到基于同余定理的移位技巧：
显然，任意整数 lastDigit 都可以表示成 lastDigit = 3x + y 的形式，
其中 x, y 是整数，y 是 lastDigit 对 3 求模的结果，也就是余数。即：
lastDigit % 3 = y
lastDigit / 3 = x
（注意：因为lastDigit 是整型变量， / 的运算结果是整数，相当于整除
——不同编程语言有所区别）
可见，对应 lastDigit = {0-9}，余数 y 的取值范围在 0, 1, 2 之间不会 >= 3。
如果对 lastDigit 分别+ 1, 2, 3，y 的值分别 +1, 2, 0，范围不变，但映射顺序发生了变化。
这个技巧可以帮助我们完成下面的变化：
对 lastDigit + (3-1)，对3求模的结果会增加 (3-1)，偏移而错开了0
——思考：为什么不是3？因为 + 3，余数不变，没有变化；
所以 {0, 3, 6, 9} + 2 对3求模余数为2，不再为0，避开了原来模3为0的问题。
然后对结果再+1——修正，回到之前的映射顺序：
(lastDigit + 2) % 3 + 1
验证一下：
1, 4, 7 和 2, 5, 8 分别 + 2 后对 3 求模，结果 + 1——与之前相等；
0, 3, 6, 9 分别 + 2 后对 3 求模，结果 + 1——为3
至此，答案出来了：
group = (lastDigit + 2) % 3 + 1
——见代码第14行
（抱歉，这款编辑软件对 MarkDown 的公式支持不好，回头换一个更清晰的）
🧠
龙爸补充：——初等数论很难么？
对于古希腊的哲学家、思想家们，可能比较难。
但对于现代人，甚至高年级小学生而言，一点儿也不难。
因为，大部分内容，他们在跟着课本学习、做数学作业和习题的过程中，都接触过了。
少数没接触过的，也很容易理解——基于整数的基本性质，进行逻辑推理。
——学编程不需要『天赋』，是喜欢说『需要天赋』的老师不行。